Une drôle d’intégrale

Récemment, David a attiré mon attention sur une identité intégrale très intéressante (il a rédigé ce billet à ce sujet). Cette égalité m’a beaucoup plu, à tel point que j’ai eu envie de faire quelques calculs de mon côté. Tout d’abord, voici l’égalité intégrale impliquée.

Identité intégrale

Pour toute fonction intégrable {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}, on a

\displaystyle \int_\mathbb{R} f(x) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} f\left( x - \tfrac{1}{x} \right) \mathrm{d}x.

Cette formule apparaît dans un article de Vassilis Papanicolaou (Ewald’s Method Revisited: Rapidly Convergent Series Representations of Certain Green’s Functions}), où elle est utilisée pour démontrer le résultat suivant :

\displaystyle \int_\mathbb{R} e^{-x^2 - \frac{1}{x^2}} \mathrm{d} x = e^{-2} \sqrt{\pi}.

La preuve de l’identité intégrale n’est pas compliquée, mais est basée sur une petite astuce.

Démonstration : On réalise le changement de variables {y = -1/x}, on a

\displaystyle \int_\mathbb{R} f\left(x - \tfrac{1}{x}\right) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} f\left(y - \tfrac{1}{y}\right) \frac{\mathrm{d}y}{y^2}.

Ces deux quantités étant égales, elles sont également égales à leur moyenne:

\displaystyle \int_\mathbb{R} f\left(x - \tfrac{1}{x}\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f\left( x - \tfrac{1}{x} \right)\left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \mathrm{d}x.

On fait enfin le changement de variables {u = x + \frac{1}{x}} sur les intervalles {(-\infty,0)} et {(0,+\infty)} séparément, on a

\displaystyle \int_\mathbb{R} f\left(x - \tfrac{1}{x}\right) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} f(u) \mathrm{d}u,

ce qui permet de conclure à l’égalité. Q.E.D

On notera que cette égalité peut être étendue de la façon suivante. Étant donné une fonction intégrable {f}, on définit la fonction

\displaystyle \Phi : b \in \mathbb{R} \mapsto \int_\mathbb{R} f\left( x + \frac{b}{x}\right) \mathrm{d} x.

On note que {\Phi(0) = \int_\mathbb{R} f(x) \mathrm{d}x}. De plus, pour tout {b} négatif, en suivant les mêmes étapes que plus haut, on a

\displaystyle \int_\mathbb{R} f\left( x + \frac{b}{x} \right) \mathrm{d}x = \int_\mathbb{R} f\left( y + \frac{b}{y} \right) \frac{(-b)\mathrm{d}y}{y^2}= \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f\left( x + \frac{b}{x} \right)\left( x - \frac{b}{x^2} \right) \mathrm{d}x\displaystyle = \int_\mathbb{R} f(u) \mathrm{d}u.

En revanche, si {b>0}, avec les mêmes étapes de calcul, on obtient

\displaystyle \int_\mathbb{R} f\left( x + \frac{b}{x} \right) \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R} \setminus [-\sqrt{b},\sqrt{b}]} f(x) \mathrm{d}x,

car dans ce cas, {x \mapsto x + \frac{b}{x}} a pour ensemble image {\mathbb{R} \setminus [-\sqrt{b},\sqrt{b}]}.

Une conséquence élémentaire de ce résultat est l’identité suivante, pour tout {b \geq 0}:

\displaystyle \int_\mathbb{R} e^{-x^2 - \frac{b}{x^2}} \mathrm{d} x = e^{-2\sqrt{b}}\sqrt{\pi},

ce qui permet de calculer la transformée de Laplace de {1/X^2}, où {X} est une variable aléatoire Gaussienne.

En ce qui concerne la fonction {\Phi} définie plus haut, on observe qu’elle est constante sur {(-\infty,0]}. Sur {[0,+\infty)}, elle vérifie {\lim_{b \to +\infty} \Phi(b) = 0}, et pour {b > 0}, sa dérivée est donnée par

\displaystyle \Phi'(b) = -\frac{f(\sqrt{b}) + f(-\sqrt{b})}{2 \sqrt{b}}.

Amusant, non ? Par exemple, si {f(x) = \frac{1}{1+x^2}}, on obtient le graphique suivant pour {\Phi}.

graphe de Phi

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